理论3D地球3：地理坐标系转WGS84互相转换

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Apr 9, 2023

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globe3d/3

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详细推导Cesium中的Cartographic和Cartesian3之间的转换过程

学完本章你将了解：

地理坐标系转WGS84

WGS84转地理坐标系

大多数地理数据是以地理坐标系的方式存储，而渲染3D地球是在空间直角坐标系中进行，所以地理数据和空间直角坐标系之间的转换必不可少。

在下面的讨论中，经度用表示，大地纬度用，高度用，表示（经度，纬度，高度）。而空间直角坐标系中的某一点用表示，椭球体表面某点用表示。所有的表面法线都是大地表面法线。

地理坐标系转WGS84

给定地理坐标和一个中心点在远点的的椭球体，假定点是WGS84坐标系，空间直角坐标系中的某一点，椭球体上某点的表面法线是。想要求，只需要计算出点在椭球体表面上的点和高度向量，。

给定表面某点，表面法向量为，根据定义：

(3.1)

给定表面某点，非归一化表面向量为，则：

(3.2)

得到为相差的常量：

(3.3)

将公式(3.2)带入(3.3)得到：

(3.4)

已知，而不知道，所以我们用三个等式重写(3.4):

(3.5)

重新排列下组合：

(3.6)

我们最终要计算，只需要计算出即可，我们都知道椭圆公式为，将(3.6)里的等式将替换可得：

(3.7)

将(3.7)代入到(3.6)中可得。

可用高度h和表面法向量计算出：

将向量和相加即可得出：

JL2

名称：地理坐标系转WGS84

文字表述：根据地理坐标和椭球体，能计算出相应的空间直角坐标系

函数表述:


//p是地球表面一点，经度，纬度，高度
//e是椭球体默认值为WGS84椭球体
//返回：点p的空间直角坐标系坐标
JL2 = (p:Vec3,e:Ellipsoid = WGS84Ellipsoid)⇒Vec3

WGS84转地理坐标系

wgs84坐标转地理坐标系有些复杂，需要分几步来做。

首先，将椭球体表面的点转换为地理坐标系，再将点沿着

计算点沿地心表面法线方向延长线与椭球体表面的交点

假设为空间直角坐标系中任意一点，是点到原点的连线和椭球体的交点，即沿地心表面法线方向与椭球体的交点。

把上述等式代入椭圆方程可得下面等式：

已知和，很容易计算

JL3

名称：ScaleToGeocentricSurface

文字表述：已知空间直角坐标系中的某一点和椭球体，能计算出点沿地心表面法线方向延长线与椭球体表面的交点。

函数表述：


//p是空间直角坐标系的某一点
//e是椭球体默认值为WGS84椭球体
//返回：点p的空间直角坐标系坐标
JL3 = (p:Vec3,e:Ellipsoid = WGS84Ellipsoid)⇒Vec3

(3.8)

计算点沿大地表面法线方向延长线与椭球体表面的交点

假设为空间直角坐标系中任意一点，是点到原点的连线和椭球体的交点。则：

(3.9)

向量和(3.2)中的的方向相同，模不同，因此可以得到一个等式：

(3.10)

把(3.10)代入到(3.9)中可得：

把上述等式写成分量的形式，并把(3.2)代入其中得：

提出:

可得：

(3.11)

椭圆公式中改成的形式：

(3.12)

把(3.11)代入到(3.12)中可得：

(3.13)

都是已知的，解方程求得，把代入到等式(3.11)中即可得到，但是怎么解方程的根呢？这里用Newton-Raphson方法求出相似解是最快的办法。这种方法对于地球的扁球体收敛速度很快，而且不需要任何三角函数，效率很高。它不适用于非常接近椭球中心的点。

把(3.13)函数求导函数可得：

(3.14)

在迭代过程中求得的,代入到(3.13)中求得的越接近于0，说明解越精确。根据迭代公式可得：

详细的计算过程就不在罗列。

JL4

名称：ScaleToGeodeticSurface

文字表述：已知空间直角坐标系中的某一点和椭球体，能计算出点沿大地表面法线方向延长线与椭球体表面的交点。

函数表述：


//p是空间直角坐标系的某一点
//e是椭球体默认值为WGS84椭球体
//返回：点p的空间直角坐标系坐标
JL4 = (p:Vec3,e:Ellipsoid = WGS84Ellipsoid)⇒Vec3

最终的计算

已知有(3.2)公式，归一化大地表面法线则：

则经纬度分别为：

高度为：，

我们获得了最终的结果

JL5

名称：CartesianToCartographic

文字表述：已知空间直角坐标系中的某一点和椭球体，能计算出该点的经纬度表示

函数表述：


//p是空间直角坐标系的某一点
//e是椭球体默认值为WGS84椭球体
//返回：点p的空间直角坐标系坐标
JL5 = (p:Vec3,e:Ellipsoid = WGS84Ellipsoid)⇒Vec3