理论3D地球1：计算大地表面某点的法线

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Apr 9, 2023

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globe3d/1

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在渲染三维地球时大地表面法线很有用，比如计算阴影，在地理坐标系中精确的定义高度。

学完本章你将了解：

地球的数学模拟

WGS84坐标系

什么是大地坐标系和笛卡尔坐标系（空间直角坐标系）

地球的数学模拟

构建一个3D地球，首先需要用数学公式描述出地球，但地球表面高低起伏，高处珠穆拉玛峰8848米，低处马里亚纳海沟11000米，上下相差19848米，极其不规则，所以我们只能用数学公式近似描述。

科学家想到了一个办法来近似的描述地球，就是地球的三级逼近。WGS84椭球体是第三级逼近中的参考椭球体，在其基础上建立了WGS84坐标系，是国际通用坐标系。

WGS84椭球体

长轴为6378137m

短轴为6356752.3142m

原点在地球质心

WGS84坐标系

WGS84坐标原点在地球质心，Z轴指向北极，X轴指向0度经线的位置，Y轴通过右手规则确定，指向。赤道在XY平面上。

WGS84坐标系固定在地球上，地球旋转，坐标系也旋转，地球上的物体跟着旋转。

在理论地球中，WGS84坐标系的单位是米。

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右手定则：中指指向X轴指向自己，食指指向Z轴指向北极，大拇指即是Y轴的方向。XYZ三轴互相垂直。

有了坐标系，相当于我们有了一把尺子，有了一个空间，拿着尺子在空间中一点点量测，我们就能构建出一个接近真实的地球。

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大地坐标系和地理坐标系

大地坐标系是大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来的坐标系，也就是地理坐标系，地面点的位置用大地经度L、大地纬度B和大地高度H表示，单位为度分秒。大地坐标系以纬度B、经度L、大地高H描述一点的空间位置。纬度的定义是某点的地面法线与赤道面的夹角，以赤道面为起算点，向南为负，范围为-90°~0°，向北为正，范围为0°~90°；经度L由起始大地子午面起算，向东为正，向西为负，范围是-180°~180°。

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大地坐标系上任一点可对应笛卡尔坐标系中一点

计算大地表面某点的法线

在渲染三维地球时大地表面法线很有用，比如计算阴影，在地理坐标系中精确的定义高度。

球面点的法线很简单，假如球的中心在原点，我们可以把当作向量，归一化()该向量即可得到的法线。将这个过程应用在地心椭球体（比如WGS84椭球体）即可得到地心表面法线（geocentric surface normal），之所以叫地心，是因为它从椭球体的原点发出穿过。如果椭球不是一个完美球体，这个向量对于大多数点来说实际上不是垂直于曲面的。

大地表面法线（geodetic surface normal）是椭球体上的点的实际表面法线,可以理解为铅垂线。当椭球是正球时，大地表面法线和地心表面法线相等，椭球越扁，两者相差越大。

大地表面法线计算公式要比地心表面法线稍微复杂些。

a,b,c是椭球体的半径，是椭球体表面点，是大地表面法线。

JL1

文字表述：椭球半径和表面点已知时，能计算出大地表面法线。

函数表述:


//p是地球表面一点
//e是椭球体默认值为WGS84椭球体
//返回：点P的大地表面法线
JL1 = (p:Vec3,e:Ellipsoid = WGS84Ellipsoid)⇒Vec3

结论的用处：

一是用公式总结上述过程

二是定义一个函数JL1 = (p:Vec3,e:Ellipsoid = WGS84Ellipsoid)⇒Vec3

三是当使用JL1(P(x,y,z))时，意味着将得到一个点P的大地表面法线